Question

設f（x）是定義在區間（1，+∞）上的函數，其導函數為f′（x）．如果存在實數a和函數h（x），其中h（x）對任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x²-ax+1），則稱函數f（x）具有性質P（a），設函數f（x）=，其中b為實數．
（1）求證：函數f（x）具有性質P（b）；
（2）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數f（x）的導函數f′（x），然后將其配湊成f′（x）=h（x）（x²-bx+1）這種形式，再說明h（x）對任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，即可證明函數f（x）具有性質P（b）；
（2）根據第一問令φ（x）=x²-bx+1，討論對稱軸與2的大小，當b≤2時，對于x＞1，φ（x）＞0，所以f′（x）＞0，可得f（x）在區間（1，+∞）上單調性，當b＞2時，φ（x）圖象開口向上，對稱軸，可求出方程φ（x）=0的兩根，判定兩根的范圍，從而確定φ（x）的符號，得到f′（x）的符號，最終求出單調區間．
解答：解：（1）f′（x）=
∵x＞1時，恒成立，
∴函數f（x）具有性質P（b）；
（2）當b≤2時，對于x＞1，φ（x）=x²-bx+1≥x²-2x+1=（x-1）²＞0
所以f′（x）＞0，故此時f（x）在區間（1，+∞）上遞增；
當b＞2時，φ（x）圖象開口向上，對稱軸，
方程φ（x）=0的兩根為：，而
當時，φ（x）＜0，f′（x）＜0，
故此時f（x）在區間上遞減；
同理得：f（x）在區間上遞增．
綜上所述，當b≤2時，f（x）在區間（1，+∞）上遞增；
當b＞2時，f（x）在上遞減；f（x）在上遞增．
點評：本題主要考查函數的概念、性質、圖象及導數等基礎知識，考查靈活運用數形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力．