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(2013•松江區一模)設f(x)是定義在R上的函數,對x∈R都有f(-x)=f(x),f(x)•f(x+2)=10,且當x∈[-2,0]時,f(x)=(
1
2
)x-1
,若在區間(-2,6]內關于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有3個不同的實數根,則a的取值范圍是(  )
分析:確定函數為周期函數,是定義在R上的偶函數,再將問題轉化為函數y=f(x)與y=loga(x+2)在區間(-2,6]上有三個不同的交點,即可求得結論.
解答:解:∵對于任意的x∈R,都有f(x)•f(x+2)=10,∴f(x+4)=
10
f(x+2)
=f(x)

∴函數f(x)是一個周期函數,且T=4.
∵對x∈R都有f(-x)=f(x),
∴函數f(x)是定義在R上的偶函數,
∵當x∈[-2,0]時,f(x)=(
1
2
x-1,在區間(-2,6]內關于x的方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3個不同的實數解,
∴函數y=f(x)與y=loga(x+2)在區間(-2,6]上有三個不同的交點,如下圖所示:

又f(-2)=f(2)=3,則有 loga4<3,且loga8>3,解得:
34
<a<2,
故a的取值范圍是(
34
,2).
故選D.
點評:本題考查根的存在性及根的個數判斷,指數函數與對數函數的圖象與性質,其中根據方程的解與函數的零點之間的關系,將方程根的問題轉化為函數零點問題,是解答本題的關鍵,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•松江區一模)已知lgx+lgy=1,則
5
x
+
2
y
的最小值是
2
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•松江區一模)拋物線的焦點為橢圓
x2
5
+
y2
4
=1
的右焦點,頂點在橢圓中心,則拋物線方程為
y2=4x
y2=4x

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•松江區一模)定義變換T將平面內的點P(x,y)(x≥0,y≥0)變換到平面內的點Q(
x
y
)

若曲線C0
x
4
+
y
2
=1(x≥0,y≥0)
經變換T后得到曲線C1,曲線C1經變換T后得到曲線C2…,依此類推,曲線Cn-1經變換T后得到曲線Cn,當n∈N*時,記曲線Cn與x、y軸正半軸的交點為An(an,0)和Bn(0,bn).某同學研究后認為曲線Cn具有如下性質:
①對任意的n∈N*,曲線Cn都關于原點對稱;
②對任意的n∈N*,曲線Cn恒過點(0,2);
③對任意的n∈N*,曲線Cn均在矩形OAnDnBn(含邊界)的內部,其中Dn的坐標為Dn(an,bn);
④記矩形OAnDnBn的面積為Sn,則
lim
n→∞
Sn=1

其中所有正確結論的序號是
③④
③④

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•松江區一模)已知遞增的等差數列{an}的首項a1=1,且a1、a2、a4成等比數列.
(1)求數列{an}的通項公式an
(2)設數列{cn}對任意n∈N*,都有
c1
2
+
c2
22
+…+
cn
2n
=an+1
成立,求c1+c2+…+c2012的值.
(3)若bn=
an+1
an
(n∈N*),求證:數列{bn}中的任意一項總可以表示成其他兩項之積.

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