Question

如圖，橢圓 (a>b>0)的上、下頂點分別為A、B，已知點B在直線l：上，且橢圓的離心率e =．

(1)求橢圓的標準方程；
(2)設P是橢圓上異于A、B的任意一點，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ中點，直線AM交直線l于點C，N為線段BC的中點，求證：OM⊥MN．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

試題分析：（1）根據橢圓的性質，建立方程，即可求得；（2）可以設點P坐標，然后用點P的坐標表示M、N的坐標，進而可以表示、，然后說明即可.
試題解析：（1）依題意，得． ∵，，∴．
∴橢圓的標準方程為
（2）證明：設，，則，且．∵為線段中點，  ∴． 又，∴直線的方程為．令，得． 又，為線段的中點，∴．
當時，，
此時，
∴，不存在，∴．
當時，，
，
∵，∴
綜上得.