Question

（2006•浦東新區一模）已知函數f（x）=x²+（2-n）x-2n的圖象與x軸正半軸的交點為A（a_n，0），n=1，2，3，…．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令bn=3an+(-1)n-1•λ•2an ( n為正整數），問是否存在非零整數λ，使得對任意正整數n，都有b_n+1＞b_n？若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）=x²+（2-n）x-2n的圖象與x軸正半軸的交點橫坐標只需令y=0求出x即為數列{a_n}的通項公式；
（2）若存在λ≠0，滿足b_n+1＞b_n恒成立，然后討論n的奇偶將λ進行分離，利用恒成立的方法求出λ的范圍即可．

解答：解：（1）設f（x）=0，x²+（2-n）x-2n=0得 x₁=-2，x₂=n．
所以a_n=n（4分）
（2）b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ，若存在λ≠0，滿足b_n+1＞b_n恒成立
即：3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ⁺¹＞3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ，（6分）
(

3

2

)n-1＞(-1)n-1•λ恒成立  （8分）
當n為奇數時，(

3

2

)n-1＞λ⇒λ＜1（10分）
當n為偶數時，(

3

2

)n-1＞-λ⇒λ＞-

3

2

（12分）
所以 -

3

2

＜λ＜1（13分），
故：λ=-1（14分）

點評：本題主要考查了等差數列的通項公式，以及數列與不等式的綜合和恒成立問題的應用，屬于中檔題．