Question

設函數f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：利用導數的運算法則即可得到f^′（x），再利用導數與函數單調性、極值與最值的關系即可得到f（x）的最小值．

解答：解：對函數f（x）求導數：f'（x）=（xlnx）'+[（1-x）ln（1-x）]'=lnx-ln（1-x）=ln

x

1-x

．
令f^′（x）=0，則

x

1-x

=1，解得x=

1

2

．
當0＜x＜

1

2

，f′(x)=lnx-ln(1-x)＜0，f(x)在區間(0，

1

2

)是減函數，
當1＞x＞

1

2

，f′(x)=lnx-ln(1-x)＞0，f(x)在區間(

1

2

，1)是增函數．
所以f(x)在x=

1

2

時取得最小值，f(

1

2

)=-1．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值、最值是解題的關鍵．