Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，D是AB的中點，E是A₁C₁的中點，F是B₁B中點，異面直線CF與DE所成的角為90°．
（1）求此三棱柱的高；
（2）求二面角C-AF-B的大小．

Answer 1

分析：（1）法一：取BC、C₁C的中點分別為H、N，連接HC₁，FN交于點K，得出C₁H⊥CF，結合△HMC∽△FMK 利用平面三角形性質求出高C₁C即可．
法二：取AC中點O，以OB為x軸，OC為y軸，建立空間坐標系，給出各點的坐標求得

CF

=(

3

 ， -1 ， 

h

2

 )，  

CE

=(-

3

2

 ， 

1

2

 ， h )，由內積為0，求出高h的值
（2）連CD，得CD⊥面AA₁B₁B，作DG⊥AF，連CG，則CG⊥AF，所以∠CGD是二面角C-AF-B的平面角，在三角形CGD求解即可．

解答：解：（1）取BC、C₁C的中點分別為H、N，連接HC₁，FN交于點K，則點K為HC₁的中點，因FN∥HC，

則△HMC∽△FMK，因H為BC中點，BC=AB=2，則KN=

1

2

，FK=

3

2

，∴

HC

FK

=

HM

MK

=

2

3

，
則HM=

1

5

HC1，在Rt△HCC₁，HC²=HM•HC₁，解得HC₁=

5

，C₁C=2．
另解：取AC中點O，以OB為x軸，OC為y軸，建立空間坐標系，設棱柱高為h，則C（0，1，0），F（

3

，0，

h

2

），D( 

3

2

 ， -

1

2

 ， 0 )，E（0，0，h），

CF

=(

3

 ， -1 ， 

h

2

 )，  

CE

=(-

3

2

 ， 

1

2

 ， h )，則CF⊥DE⇒

CF

•

DE

=0⇒h=2．
（2）連CD，得CD⊥面AA₁B₁B，作DG⊥AF，連CG，則CG⊥AF，所以∠CGD是二面角C-AF-B的平面角，
又在Rt△AFB中，AD=1，BF=1，AF=

5

，從而DG=

5

5

，
∴tan∠CGD=

DC

DG

=

15

，即∠CGD=arctan

15

．

點評：本題主要考查空間角，距離的計算，線面垂直，面面垂直的定義，性質、判定，考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．