Question

某學校擬建一座長60米，寬30米的長方形體育館．按照建筑要求，每隔x米需打建一個樁位，每個樁位需花費4.5萬元（樁位視為一點且打在長方形的邊上），樁位之間的x米墻面需花萬元，在不計地板和天花板的情況下，當x為何值時，所需總費用最少？

Answer 1

【答案】分析：由題意可得出需打的樁位個數，進而得到墻面所需費用和所需總費用的函數表達式，再利用導數研究它的極值，進而得出此函數的最大值即可．
解答：解：由題意可知，需打個樁位．（3分）
墻面所需費用為：，（5分）
∴所需總費用=（0＜x＜30）（9分）
令，則，
當0＜x＜3時，t′＜0；當3＜x＜30時，t′＞0．
∴當x=3時，t取極小值為．
而在（0，30）內極值點唯一，所以．
∴當x=3時，（萬元），
即每隔3米打建一個樁位時，所需總費用最小為1170萬元．（14分）
點評：利用導數解決生活中的優化問題，關鍵是要建立恰當的數學模型，把問題中所涉及的幾個變量轉化為函數關系式，這需要通過分析、聯想、抽象和轉化完成．函數的最值要由極值和端點的函數值確定．當函數定義域是開區間且在區間上只有一個極值時，這個極值就是它的最值．