Question

某學校擬建一座長60米，寬30米的長方形體育館．按照建筑要求，每隔x米需打建一個樁位，每個樁位需花費4.5萬元（樁位視為一點且打在長方形的邊上），樁位之間的x米墻面需花(2+

3x

)x萬元，在不計地板和天花板的情況下，當x為何值時，所需總費用最少？

Answer 1

分析：由題意可得出需打的樁位個數，進而得到墻面所需費用和所需總費用的函數表達式，再利用導數研究它的極值，進而得出此函數的最大值即可．

解答：解：由題意可知，需打2(

60

x

+1)+2(

30

x

-1)=

180

x

個樁位．（3分）
墻面所需費用為：(2+

3x

)x•

180

x

=180(2+

3x

)，（5分）
∴所需總費用y=

180

x

×

9

2

+180×(2+

3x

)=180(

9

2x

+

3x

)+360（0＜x＜30）（9分）
令t=

9

2x

+

3x

，則t′=-

9

2x2

+

3

2 x

=

3 (-3 3 2 +x 3 2 )

2x2

，
當0＜x＜3時，t′＜0；當3＜x＜30時，t′＞0．
∴當x=3時，t取極小值為t=

9

2×3

+

3×3

=

9

2

．
而在（0，30）內極值點唯一，所以tmin=

9

2

．
∴當x=3時，ymin=180×

9

2

+360=1170（萬元），
即每隔3米打建一個樁位時，所需總費用最小為1170萬元．（14分）

點評：利用導數解決生活中的優化問題，關鍵是要建立恰當的數學模型，把問題中所涉及的幾個變量轉化為函數關系式，這需要通過分析、聯想、抽象和轉化完成．函數的最值要由極值和端點的函數值確定．當函數定義域是開區間且在區間上只有一個極值時，這個極值就是它的最值．