Question

設a、b是不共線的兩個非零向量，
（1）若=2a-b，=3a+b，=a-3b，求證：A、B、C三點共線．
（2）若8a+kb與ka+2b共線，求實數k的值；
（3）設=ma，=nb，=α a+β b，其中m、n、α、β均為實數，m≠0，n≠0，若M、P、N三點共線，
求證：+=1．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證三點共線，先構造以這三點為起點和終點的向量，讓所給的三個向量兩兩相減，得到關于A、B、C的向量，加以驗證即可．
（2）兩個向量共線，則其中一個可以寫成另一個的實數倍，根據系數相等，構成方程，解方程即可．
（3）這一問恰好和第一問相反，但是解題的原理是一樣的，從三點共線入手，得到系數之間的關系，根據α、β和其他幾個量之間的關系，得到結論．
解答：解：（1）證明：∵=（3a+b）-（2a-b）=a+2b，
而=（a-3b）-（3a+b）=-2a-4b=-2，
∴與共線，且有公共端點B，
∴A、B、C三點共線．
（2）∵8a+kb與ka+2b共線，∴存在實數λ，使得（8a+kb）=λ（ka+2b）⇒（8-λk）a+（k-2λ）b=0，
∵a與b不共線，∴k=2λ=±4．
（3）證明：∵M、P、N三點共線，∴存在實數λ，使得，
∴=a+b．
∵a、b不共線，∴
∴+=+=1．
點評：本題主要考查的是向量共線和向量用基底表示，用一組向量來表示一個向量，是以后解題過程中常見到的，向量的加減運算是用向量解決問題的基礎，要學好運算，才能用向量解決立體幾何問題，三角函數問題．