Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣ （k+1）x2+3kx+1，其中k∈R．
（1）當k=3時，求函數f（x）在[0，5]上的值域；
（2）若函數f（x）在[1，2]上的最小值為3，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：k=3時，f（x）=x3﹣6x2+9x+1，

則f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），

令f′（x）=0得x1=1，x2=3，列表如下：

x	0	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，5）	3
f′（x）		+	0	﹣	0	+
f（x）	1	單調遞增	5	單調遞減	1	單調遞增	21

由上表知函數f（x）的值域為[1，21]

（2）解：方法一：f′（x）=3x2﹣3（k+1）x+3k=3（x﹣1）（x﹣k）

①當k≤1時，x∈[1，2]，f'（x）≥0，函數f（x）在區(qū)間[1，2]單調遞增

所以

即 （舍）

②當k≥2時，x∈[1，2]，f'（x）≤0，函數f（x）在區(qū)間[1，2]單調遞減

所以f（x）min=f（2）=8﹣6（k+1）+3k2+1=3

符合題意

③當1＜k＜2時，

當x∈[1，k）時，f'（x）＜0f（x）區(qū)間在[1，k）單調遞減

當x∈（k，2]時，f'（x）＞0f（x）區(qū)間在（k，2]單調遞增

所以

化簡得：k3﹣3k2+4=0

即（k+1）（k﹣2）2=0

所以k=﹣1或k=2（舍）

注：也可令g（k）=k3﹣3k2+4

則g′（k）=3k2﹣6k=3k（k﹣2）

對k∈（1，2），g′（k）≤0，

g（k）=k3﹣3k2+4在k∈（1，2）單調遞減

所以0＜g（k）＜2不符合題意

綜上所述：實數k取值范圍為k≥2

方法二：f′（x）=3x2﹣3（k+1）x+3k=3（x﹣1）（x﹣k）

①當k≥2時，x∈[1，2]，f'（x）≤0，

函數f（x）在區(qū)間[1，2]單調遞減

所以f（x）min=f（2）=8﹣6（k+1）+3k2+1=3

符合題意

②當k≤1時，x∈[1，2]，f'（x）≥0，

函數f（x）在區(qū)間[1，2]單調遞增

所以f（x）min＜f（2）=3不符合題意

③當1＜k＜2時，

當x∈[1，k）時，f'（x）＜0f（x）區(qū)間在[1，k）單調遞減，

當x∈（k，2]時，f'（x）＞0f（x）區(qū)間在（k，2]單調遞增，

所以f（x）min=f（k）＜f（2）=3不符合題意，

綜上所述：實數k取值范圍為k≥2

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區(qū)間，求出函數的值域即可；（2）法一（二）：通過討論k的范圍，求出函數的最小值，結合函數f（x）在[1，2]上的最小值為3，求出k的范圍即可．
【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．