Question

已知{a_n}是等比數(shù)列，{a_n}中有連續(xù)三項(xiàng)的積為1，則該三項(xiàng)的和的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出此等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)變形后即可求出中間項(xiàng)的值為1，然后設(shè)出公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)表示出前一項(xiàng)與后一項(xiàng)，三項(xiàng)相加，分q大于0和q小于0兩種情況，分別利用基本不等式即可求出三項(xiàng)和的范圍，求出兩范圍的并集即可得到所求．

解答：解：設(shè)連續(xù)三項(xiàng)中間的項(xiàng)為a_n，則前一項(xiàng)為a_n-1，后一項(xiàng)為a_n+1，
∵{a_n}是等比數(shù)列，根據(jù)題意有a_n-1•a_n•a_n+1=（a_n）³=1，
∴a_n=1，設(shè)公比為q，a_n-1=

1

q

，a_n+1=q，
當(dāng)q＞0時(shí)，a_n-1+a_n+a_n+1=

1

q

+1+q≥3，當(dāng)且僅當(dāng)q=1時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)該三項(xiàng)的和的取值范圍是[3，+∞）；
當(dāng)q＜0，即-q＞0時(shí)，a_n-1+a_n+a_n+1=

1

q

+1+q=1-[（-

1

q

）+（-q）]≤1-2=-1，當(dāng)且僅當(dāng)q=-1時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)該三項(xiàng)的和的取值范圍是（-∞，-1]，
綜上，該三項(xiàng)的和的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故答案為：（-∞，-1]∪[3，+∞）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，以及基本不等式的運(yùn)用．學(xué)生在運(yùn)用基本不等式a+b≥2

ab

時(shí)，注意a與b必須為正數(shù)．