Question

求證:過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.

已知:點P直線a.

求證:過點P與直線a平行的直線有且只有一條.

Answer 1

解析:利用平面幾何知識證明存在性,利用反證法證明唯一性.

證明:∵Pa,∴點P和直線a確定一個平面,設該平面為α.

在平面α內,利用平面幾何的知識過P作直線b,使得b∥a.則過點P有一條直線與a平行.

假設過點P還有一條直線c與a平行,

∵a∥b,a∥c,∴b∥c.

這與b、c相交于點P矛盾,故假設不成立.

∴過P只有一條直線與a平行.

綜上所述,過點P與a平行的直線有且只有一條.

小結:(1)在數學中,“有一個”通常稱為存在性，“只有一個”稱為唯一性.證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，就是既要證明存在性又要證明唯一性.

(2)本例說明了過直線外一點存在一條直線和該直線平行,并且這條直線是唯一的.