Question

【題目】已知a＞0且a≠1，函數f（x）= （a﹣x﹣ax），g（x）=﹣ax+2．
（1）指出f（x）的單調性（不要求證明）；
（2）若有g（2）+f（2）=3，求g（﹣2）+f（﹣2）的值；
（3）若h（x）=f（x）+g（x）﹣2，求使不等式h（x2+tx）+h（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：函數f（x）= （a﹣x﹣ax），

①當0＜a＜1時， 遞減，

②當a＞1時， 遞減，

∴當且a＞0且a≠1時，f（x）是減函數

（2）解：由題意g（x）=﹣ax+2．

設h（x）=f（x）+g（x）﹣2，則：h（x）= ，其定義域為R，關于原點對稱，

h（﹣x）= = =﹣[ ]=﹣h（x）

∵h（﹣x）=﹣h（x），

∴h（x）是定義域為R的奇函數．

∵g（2）+f（2）=3，則：h（2）=1，

∴h（﹣2）=﹣1，即：g（2）+f（2）﹣2=﹣1

所以g（2）+f（2）=1

（3）解：由（2）知h（x）是定義域為R的奇函數，且在R上為減函數，

由h（x2+tx）+h（4﹣x）＜0，則有：h（x2+tx）＜h（﹣4+x）

∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，

∴△=b2﹣4ac=（t﹣1）2﹣16＜0

解得：﹣3＜t＜5，

故得t的取值范圍是（﹣3，5）

【解析】（1）利用指數函數的單調性，對底數a討論，即可單調性．（2）令f（x）+g（x）﹣2=h（x）．證明其奇偶性，利用奇偶性求值．（3）利用（1）（2）中的結論，將不等式轉化為二次函數恒成立問題，即可求解t的取值范圍．