Question

（本小題滿分14分）
已知 , 函數．
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若函數的圖像在點處的切線的斜率為，問：在什么范圍
取值時，對于任意的，函數在區間上總存在
極值？
（Ⅲ）當時，設函數，若在區間上至少存在
一個，使得成立，試求實數的取值范圍．

Answer 1

解：（Ι）由題意知，定義域為…1分
則，
當時，函數的單調增區間是，單調減區間是；
當時，函數的單調增區間是，單調減區間是.  …………4分
（Ⅱ）由得,
∴，.                ………………………5分

∴,
∵ 函數在區間上總存在極值，
∴有兩個不等實根且至少有一個在區間內            …………6分
又∵函數是開口向上的二次函數，且，∴                                                  …………7分
由，∵在上單調遞減，
所以；∴，由，
解得；
綜上得： 所以當在內取值時，對于任意，函數，在區間上總存在極值 .           …………10分
（Ⅲ）令，則
.
1. 當時，由得，從而,
所以，在上不存在使得；               …………………12分
2. 當時，,
在上恒成立，故在上單調遞增.

故只要，解得     
綜上所述，的取值范圍是 .           …………………14分

略