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在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點為F1（-1，0），且點P（0，1）在C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l的斜率為2且經過橢圓C的左焦點．求直線l與該橢圓C相交的弦長．
分析：（Ⅰ）由橢圓C的左焦點為F1（-1，0），知c=1，點P（0，1）代入橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1，得b=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）直線l的方程為y=2x+2，由
x2
2
+y2=1
y=2x+2
，得9x2+16x+6=0，由此能求出直線l與該橢圓C相交的弦長．
解答：解：（Ⅰ）因為橢圓C的左焦點為F1（-1，0），所以c=1，
點P（0，1）代入橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1，得
1
b2
=1，即b=1，
所以a2=b2+c2=2，所以橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1．
（Ⅱ）直線l的方程為y=2x+2，
x2
2
+y2=1
y=2x+2
，
消去y并整理得9x2+16x+6=0，
∴x1+x2=-
16
9
，x1x2=
6
9
，
|AB|=
1+k2
|x1-x2|
=
5
(x1+x2)2-4x1x2
=
10
2
9
．
∴直線l與該橢圓C相交的弦長為
10
2
9
．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查弦長的求法，解題時要認真審題，注意弦長公式的靈活運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經過坐標原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標是
3
5
，點B的縱坐標是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數方程（以t為參數）及普通方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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