Question

記函數f(x)=

2- x+3 x+1

的定義域為A，g(x)=

2

(x-a-1)(2a-x)

的定義域為B（a為實常數且a≠1）
（1）求A、B；
（2）若A∪B=A，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二次根號內被開方數必須大于或等于零，同時分母不為零，得到函數f（x）的定義域A；對于函數g（x）分母為二次根式，故（x-a-1）（2a-x）＞0，再討論a+1與2a的大小可得集合B；
（2）若A∪B=A，說明集合B是集合A的子集，然后分a+1與2a都小于或等于-1和a+1與2a都大于1兩種情況加以討論，最終可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（1）對于函數f（x）應該滿足：2-

x+3

x+1

≥0⇒A=(-∞，-1)∪[1，+∞)  
而對于函數g（x），應該滿足（x-a-1）（2a-x）＞0⇒（x-a-1）（x-2a）＜0
討論：①a＜1時，B=（2a，a+1）
②a＞1時，B=（a+1，2a）                                
（2）A∪B=A⇒B⊆A
①

a＜1 a+1≤-1或2a≥1

⇒a≤-2或

1

2

≤a＜1
②

a＞1 2a≤-1或a+1≥1

⇒a＞1
綜上所述，實數a的取值范圍為：a∈(-∞，-2]∪[

1

2

，1)∪(1，+∞)

點評：本題考查了函數的定義域的求法和集合包含關系的判斷，屬于基礎題．看準題中的二次根號的被開方數不小于零和分母同時不為零，是解決本題的關鍵．