Question

在如圖所示的正方體A₁B₁C₁D₁ABCD中，E是C₁D₁的中點，則異面直線DE與AC夾角的余弦值為（　　）

• A．-

  10

  10

• B．-

  1

  20

• C．

  1

  20

• D．

  10

  10

Answer 1

分析：取A₁D₁中點，連接EF、DF、A₁C₁，用三角形的中位線和平行線的傳遞性，證出EF∥AC，得∠DEF（或其補角）就是異面直線DE與AC所成的角．然后在△DEF中求出各邊的長，再利用余弦定理即可算出異面直線DE與AC夾角的余弦值．

解答：解：取A₁D₁中點，連接EF、DF、A₁C₁，
∵正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A∥C₁C且A₁A=C₁C
∴四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，可得A₁C₁∥AC
又∵△A₁C₁D₁中，EF是中位線
∴EF∥A₁C₁，且EF=

1

2

A₁C₁．
由此可得EF∥AC，得∠DEF（或其補角）就是異面直線DE與AC所成的角
設正方體的棱長為a，則△DEF中
DF=DE=

a2+( 1 2 a)2

=

5

2

a，EF=

1

2

A₁C₁=

2

2

a
由余弦定理，得cos∠DEF=

DE2+DF2-EF 2

2DE•DF

=

10

10

＞0
可得∠DEF是銳角，因此∠DEF是異面直線DE與AC所成的角，余弦值為

10

10

故選：D

點評：本題在正方體中求異面直線所成角的余弦值，著重考查了正方體的性質和異面直線所成角的定義及求法等知識，屬于基礎題．