Question

【題目】已知函數，.

（1）當吋，解不等式；

（2）設.

①當時，若存在，使得，證明：；

②當時，討論的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）（2）①見解析②見解析

【解析】

（1）將代入，不妨設，利用導數判斷函數單調遞增，由，即可求解.

（2）①由，代入解析式整理可得，由，利用基本不等式可得，方法一：設，利用導數即可證出；方法二：利用反證法，假設，找出，與已知矛盾即可. ②，求導函數，求出函數的單調區間以及最值，且，討論、或即可得出零點個數.

解：（1）設，

則，

所以在上遞增，又，所以，

所以的解集為.

（2）①證明：由得，

即，又，

所以，

因為，所以“”不成立.

思路一：

設，，則，

所以在單調遞減，

又，所以，即.

思路二：

假設，則，，所以，

這與矛盾，故.

②，

當時，，

令得（負值舍去）.

所以當時，，為減函數，

當時，，為增函數.

又.

當，即時，有一個零點.

當，即時，由可知，

又，且，

所以，在有一個零點，故此時有兩個零點；

當，即時，由可知，

令，則，

所以當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減，所以，

故，則.

所以，所以，且，

所以，在有一個零點，故此時有兩個零點.

綜上，當時，有1個零點；

當且時，有2個零點.