Question

已知圓C的方程（x-2）²+（y-3）²=1，直線l₁過點A（3，0），且與圓C相切．
（1）求直線l₁的方程；
（2）若過點D（0，1），且斜率為k的直線l₂與圓C有兩個不同的交點M、N．且 

OM

•

ON

=12，求k的值．

Answer 1

分析：（1）設直線l₁的方程為y=m（x-3），圓心C到直線l₁的距離等于半徑，利用點到直線的距離公式建立關于m的方程，解之可得方程為4x+3y-12=0．而直線斜率不存在時也與圓C相切，由此可得直線l₁的方程；
（2）由題意得l₂的方程為y=k（x-1），與圓C的方程消去y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系加以計算，得到

OM

•

ON

=

4k(1+k)

1+k 2

+8=12，解之即可得到k=1．

解答：解：（1）設直線l₁的方程為y=m（x-3），即mx-y-3m．=0        …（1分）
圓心C到直線l₁的距離d=

|2m-3-3m|

1+k2

=1，解得m=-

4

3

，…（2分）
所以直線l₁的方程為4x+3y-12=0；
當直線斜率不存在時，直線x=3也與圓C相切，
所以直線l₁的方程為4x+3y-12=0或x=3．               …（5分）
（2）設l₂的方程為y=k（x-1），
將直線l₂的方程與圓C的方程消去y，得：（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則由根與系數的關系可得：
x₁+x₂=

4(1+k)

1+k 2

，x₁x₂=

7

1+k 2

，
從而y₁y₂=（kx₁+1）•（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
因此，

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=（1+k²）•

7

1+k 2

+k•

4(1+k)

1+k 2

+1=

4k(1+k)

1+k 2

+8，
∴

OM

•

ON

=

4k(1+k)

1+k 2

+8=12，整理得k（1+k）=1+k²，解之得k=1．
經檢驗，可得此時△＞0，所以k=1符合題意．…（14分）

點評：本題求已知圓的切線方程，并求滿足向量數量積

OM

•

ON

=12的直線方程，著重考查了向量數量積公式、一元二次方程根與系數的關系和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．