Question

已知圓C的方程（x-2）²+（y-3）²=1，直線l₁過點(diǎn)A（3，0），且與圓C相切．
（1）求直線l₁的方程；
（2）若過點(diǎn)D（0，1），且斜率為k的直線l₂與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N．且 •=12，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線l₁的方程為y=m（x-3），圓心C到直線l₁的距離等于半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于m的方程，解之可得方程為4x+3y-12=0．而直線斜率不存在時(shí)也與圓C相切，由此可得直線l₁的方程；
（2）由題意得l₂的方程為y=k（x-1），與圓C的方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系加以計(jì)算，得到•=+8=12，解之即可得到k=1．
解答：解：（1）設(shè)直線l₁的方程為y=m（x-3），即mx-y-3m．=0        …（1分）
圓心C到直線l₁的距離d=，解得m=-，…（2分）
所以直線l₁的方程為4x+3y-12=0；
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線x=3也與圓C相切，
所以直線l₁的方程為4x+3y-12=0或x=3．               …（5分）
（2）設(shè)l₂的方程為y=k（x-1），
將直線l₂的方程與圓C的方程消去y，得：（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則由根與系數(shù)的關(guān)系可得：
x₁+x₂=，x₁x₂=，
從而y₁y₂=（kx₁+1）•（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
因此，•=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=（1+k²）•+k•+1=+8，
∴•=+8=12，整理得k（1+k）=1+k²，解之得k=1．
經(jīng)檢驗(yàn)，可得此時(shí)△＞0，所以k=1符合題意．…（14分）
點(diǎn)評：本題求已知圓的切線方程，并求滿足向量數(shù)量積•=12的直線方程，著重考查了向量數(shù)量積公式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．