Question

設橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，已知橢圓E上的任意一點P，滿足

PF1

•

PF2

的最小值為

1

2

a²，過F₁作垂直于橢圓長軸的弦長為3．（參考公式：

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ=x₁x₂+y₁y₂）
（1）求橢圓E的方程；
（2）若過F₁的直線交橢圓于A，B兩點，求

F2A

•

F2B

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設點P（x₀，y₀），用坐標表示出

PF1

•

PF2

，根據二次函數性質求得其最小值，令最小值為

1

2

a²，由長軸長可得

b2

a

=

3

2

，結合a²=b²+c²即可解得a，b；
（2）當過F₁的直線AB的斜率不存在時，容易求得此時

F2A

•

F2B

；當過F₁的直線AB存在斜率時，設斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x+1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立直線方程與橢圓方程消去y得x的二次方程，利用韋達定理及向量數量積運算可把

F2A

•

F2B

表示為關于k的函數，根據k的取值范圍即可求得

F2A

•

F2B

的范圍，綜上即可求得答案．

解答：解：（1）設點P（x₀，y₀），則

PF1

=(-c-x0，-y0)，

PF2

=(c-x0，-y0)，
∴

PF1

•

PF2

=

x

2 0

-c2+

y

2 0

=

c2

a2

x

2 0

+b2-c2，
∵

PF1

•

PF2

≥

1

2

a2，0≤

x

2 0

≤a2，
∴b2-c2=

1

2

a2，∴a=2c，
又

c2

a2

+

y2

b2

=1，∴y=±

b2

a

，∴

b2

a

=

3

2

，a²=4，b²=3，
∴橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）當過F₁的直線AB的斜率不存在時，點A（-1，

3

2

）B（-1，-

3

2

），則

F2A

•

F2B

=-

1

2

；
當過F₁的直線AB存在斜率時，設斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x+1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
x1+x2=

-8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，
所以

F2A

•

F2B

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1)
=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+（k²+1）=

7k2-9

4k2+3

=

7

4

-

57

4(4k2+3)

，
∵k²≥0，∴-3≤

F2A

•

F2B

＜

7

4

，
綜上所述，∴-3≤

F2A

•

F2B

＜

7

4

；

點評：本小題主要考查橢圓的方程、幾何性質，平面向量的數量積的坐標運算，直線與圓錐曲線的位置關系等基本知識及推理能力和運算能力．