Question

設橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且過點M（2，

2

），O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在以圓心為原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且

OA

⊥

OB

？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據離心率為e=

2

2

，過點M（2，

2

），利用待定系數法，求出幾何量，從而可求橢圓E的方程；
（II）先假設存在，設該圓的切線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及

OA

⊥

OB

，可確定m的范圍及所求的圓的方程，驗證當切線的斜率不存在時，結論也成立．

解答：解：（I）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）的離心率為

2

2

，且過點M（2，

2

），
∴

4 a2 + 2 b2 =1 a2-b2 a2 = 1 2

，解得

a2=8 b2=4

，
∴橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（II）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且

OA

⊥

OB

，
設該圓的切線方程為y=kx+m，
解方程組

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

得x²+2（kx+m）²=8，即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
則△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，
x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

；
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-8k2

1+2k2

，
∵

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，
∴3m²-8k²-8=0，
∴8k²=3m²-8，
∴對任意k，符合條件的m滿足

3m2-8≥0 3m2-8-m2+4＞0

，
∴m2≥

8

3

，即m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
∵直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，
∴圓的半徑為r=

m

1+k

，
∴r2=

m2

1+k2

=

m2

1+ 3m2-8 8

=

8

3

，
∴所求的圓為x²+y²=

8

3

；
此時圓的切線y=kx+m都滿足m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
而當切線的斜率不存在時，切線為x=±

2 6

3

與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1的兩個交點為(

2 6

3

，±

2 6

3

)或(-

2 6

3

，±

2 6

3

)滿足

OA

⊥

OB

，
綜上，存在圓心在原點的圓x2+y2=

8

3

，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且

OA

⊥

OB

．

點評：熟練掌握橢圓、雙曲線的標準方程與性質、直線與橢圓相交得到根與系數的關系、直線與圓相切的性質、垂直與數量積的關系是解題的關鍵．