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對于平面內的命題：“△ABC內接于圓O，圓O的半徑為R，且O點在△ABC內，連接AO，BO，CO并延長分別交對邊于A1，B1，C1，則數學公式”．
證明如下：數學公式，
即：數學公式，即數學公式，
由柯西不等式，得數學公式．∴數學公式．
將平面問題推廣到空間，就得到命題“四面體ABCD內接于半徑為R的球O內，球心O在該四面體內，連接AO，BO，CO，DO并延長分別與對面交于A1，B1，C1，D1，則________”．

AA1+BB1+CC1+DD1≥
分析：由三角形類比四面體，由面積類比體積，結合柯西不等式，即可得到結論．
解答：類比證明方法可得：
∴
∴
由柯西不等式，得
∴AA1+BB1+CC1+DD1≥
故答案為：AA1+BB1+CC1+DD1≥．
點評：本題考查兩邊推理，考查學生分析解決問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

給出下列五個命題：
①長度相等，方向不同的向量叫做相反向量；
②設
b
，
c
是同一平面內的兩個不共線向量，則對于平面內的任意一個向量
a
，有且只有一對實數λ1，λ2，使
a
=λ1
b
+λ2
c
；
③
a
∥
b
的充要條件是存在唯一的實數λ使
b
=λ
a
；
④（
a
•
b
）
c
=
a
（
b
•
c
）；
⑤λ（
a
+
b
）•
c
=λ
a
•
c
+λ
b
•
c
．
其中正確命題的個數是                                （　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于平面內的命題：“△ABC內接于圓O，圓O的半徑為R，且O點在△ABC內，連接AO，BO，CO并延長分別交對邊于A1，B1，C1，則AA1+BB1+CC1≥
9R
2
”．
證明如下：
OA1
AA1
+
OB1
BB1
+
OC1
CC1
=
S△OBC
S△ABC
+
S△OAC
S△ABC
+
S△OAB
S△ABC
=1，
即：
AA1-R
AA1
+
BB1-R
BB1
+
CC1-R
CC1
=1，即
1
AA1
+
1
BB1
+
1
CC1
=
2
R
，
由柯西不等式，得(AA1+BB1+CC1)(
1
AA1
+
1
BB1
+
1
CC1
)≥9．∴AA1+BB1+CC1≥
9R
2
．
將平面問題推廣到空間，就得到命題“四面體ABCD內接于半徑為R的球O內，球心O在該四面體內，連接AO，BO，CO，DO并延長分別與對面交于A1，B1，C1，D1，則
AA1+BB1+CC1+DD1≥
16R
3
AA1+BB1+CC1+DD1≥
16R
3
”．

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科目：高中數學 來源：湖北省荊州市2012屆高中畢業班質量檢查(Ⅱ)數學理科試題 題型：022

對于平面內的命題：“△ABC內接于圓⊙O，圓O的半徑為R，且O點在△ABC內，連結AO，BO，CO并延長分別交對邊于A1，B1，C1，則AA1＋BB1＋CC1≥”

證明如下：

即：，即

由柯西不等式，得

∴AA1＋BB1＋CC1≥

將平面問題推廣到空間，就得到命題“四面體ABCD內接于半徑為R的球O內，球心O在該四面體內，連結AO，BO，CO，DO并延長分別與對面交于A1，B1，C1，D1，則________”

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年福建省福州三中高三（下）第五次月考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

對于平面內的命題：“△ABC內接于圓O，圓O的半徑為R，且O點在△ABC內，連接AO，BO，CO并延長分別交對邊于A1，B1，C1，則”．
證明如下：，
即：，即，
由柯西不等式，得．∴．
將平面問題推廣到空間，就得到命題“四面體ABCD內接于半徑為R的球O內，球心O在該四面體內，連接AO，BO，CO，DO并延長分別與對面交于A1，B1，C1，D1，則    ”．

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