Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形，側面為正三角形，，，平面平面，為棱上一點（不與、重合），平面交棱于點.

（1）求證：；

（2）若二面角的余弦值為，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）先根據線面平行判定定理得平面，再根據線面平行性質定理得結果；

（2）取的中點，根據面面垂直性質定理得平面，再根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用向量數量積解得平面的一個方向量，再利用向量夾角公式以及二面角與向量夾角關系列方程，解得E點坐標，最后根據向量求點面距，即得結果.

（1）底面為矩形，.

又平面，平面，平面.

又平面，平面平面，.

（2）取的中點，連接，過點作交于點.

側面為正三角形，.

平面平面且交線為，

平面，為矩形，，，

如圖所示，建立以，，所在直線為軸，軸，軸的空間直角坐標系

，，，，.

設，又，.

，.

設平面的法向量為

，

令，，，

平面的一個法向量.

又易知是平面的一個法向量，

，

解得：，，.

又平面的一個法向量，

點到平面的距離為：.