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【題目】已知函數.

1)若曲線在點處有相同的切線,求函數的極值;

2)若時,不等式為自然對數的底數,)上恒成立,求實數的取值范圍.

【答案】1的極大值,極小值為;(2.

【解析】

1)利用導數的幾何意義求得,再對函數求導,解導數不等式求得單調區間,從而求得函數的極值;

2)設,定義域為,要使上恒成立,只需上恒成立;對5種情況討論,研究函數的最小值,從而求得的范圍.

1

由題意知,∴

,∴

時,時,

上是增函數,在上是減函數,在上是增函數,

的極大值,極小值為.

2)設,定義域為

要使上恒成立,只需上恒成立,

因為

由于,所以由,即,可得

①當,即,易知,令

解得.不滿足條件;

②當,即時,則必須,由①知,不滿足條件;

③當,即時,則必須,解得.不滿足條件.

④當,即時,則必須

,解得

,則

可知在區間上單調遞增,所以,所以不滿足條件;

⑤當,即時,則必須,解得,而

所以.

綜上所述的取值范圍是.

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,,且.

(1)求證:

(2)求點到平面的距離.

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【題目】已知橢圓經過點,長軸長是短軸長的2倍.

(1)求橢圓的方程;

(2)設直線經過點且與橢圓相交于兩點(異于點),記直線的斜率為,直線的斜率為,證明:為定值,并求出該定值.

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【題目】設拋物線的焦點為,過且斜率為的直線交于兩點,

(1)求的方程;

(2)求過點且與的準線相切的圓的方程.

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【題目】在直角坐標系中,以原點為極點,軸的正半軸為極軸,以相同的長度單位建立極坐標系,已知直線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為

(l)設為參數,若,求直線的參數方程;

2)已知直線與曲線交于,且,求實數的值.

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【題目】如圖,四棱錐中,底面為矩形,側面為正三角形,,平面平面為棱上一點(不與重合),平面交棱于點.

1)求證:

2)若二面角的余弦值為,求點到平面的距離.

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【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響,在若干地區各投入4萬元廣告費用,并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員失誤,橫軸的數據丟失,但可以確定橫軸是從0開始計數的.

1)根據頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度;

2)估計該公司投入4萬元廣告費用之后,對應銷售收益的平均值(以各組的區間中點值代表該組的取值);

3)該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數據,并整理得到下表:

廣告投入x(單位:萬元)

1

2

3

4

5

銷售收益y(單位:萬元)

1

3

4

7

表中的數據顯示,xy之間存在線性相關關系,請將(2)的結果填入上表的空白欄,并計算y關于x的回歸方程.

回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為.

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【題目】已知拋物線,拋物線上橫坐標為的點到焦點的距離為.

(Ⅰ)求拋物線的方程及其準線方程;

(Ⅱ)過的直線交拋物線于不同的兩點,交直線于點,直線交直線于點. 是否存在這樣的直線,使得? 若不存在,請說明理由;若存在,求出直線的方程.

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【題目】在平面直角坐標系中,已知直線的方程為,曲線是以坐標原點為頂點,直線為準線的拋物線.以坐標原點為極點,軸非負半軸為極軸建立極坐標系.

(1)分別求出直線與曲線的極坐標方程:

(2)點是曲線上位于第一象限內的一個動點,點是直線上位于第二象限內的一個動點,且,請求出的最大值.

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