Question

已知f（x）=kx³-x²+x-5在R上單調遞增，記△ABC的三內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，若a²+c²≥b²+ac時，不等式恒成立．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）求角cosB的取值范圍；
（3）求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由f（x）=kx³-x²+x-5知f′（x）=3kx²-2x+1，
∵f（x）在R上單調遞增，∴f′（x）＞0恒成立，
∴3k＞0且△＜0，即k＞0且4-12k＜0，∴，
當△=0，即時，f′（x）=3kx²-2x+1=（x-1）²，
∴x＜1時f′（x）＞0，x＞1時，f′（x）＞0，
即當時，能使f（x）在R上單調遞增，∴．
（2）∵a²+c²≥b²+ac，由余弦定理：，∴，
（3）∵f（x）在R上單調遞增，且，
所以
==，
故，即，，即，即0≤m＜16．
分析：（1）對函數f（x）進行求導，利用函數的單調性判斷出f′（x）＞0恒成立進而判斷出導函數的開口向上判斷出k＞0，判別式小于0求得k的范圍．
（2）利用余弦定理和題設的不等式求得cosB的范圍，進而求得B的范圍．
（3）利用函數的單調性和題設的不等式建立不等式求得m的范圍．
點評：本題主要考查了余弦定理的應用，利用導函數研究函數的單調性以及函數．考查了基礎知識的綜合理解和應用．