Question

已知f（x）=kx³-x²+x-5在R上單調遞增，記△ABC的三內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，若a²+c²≥b²+ac時，不等式f[m+sin2B+cos(A+C)]＜f(2

m

+

33

4

)恒成立．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）求角cosB的取值范圍；
（3）求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數f（x）進行求導，利用函數的單調性判斷出f′（x）＞0恒成立進而判斷出導函數的開口向上判斷出k＞0，判別式小于0求得k的范圍．
（2）利用余弦定理和題設的不等式求得cosB的范圍，進而求得B的范圍．
（3）利用函數的單調性和題設的不等式建立不等式求得m的范圍．

解答：解：（1）由f（x）=kx³-x²+x-5知f′（x）=3kx²-2x+1，
∵f（x）在R上單調遞增，∴f′（x）＞0恒成立，
∴3k＞0且△＜0，即k＞0且4-12k＜0，∴k＞

1

3

，
當△=0，即k=

1

3

時，f′（x）=3kx²-2x+1=（x-1）²，
∴x＜1時f′（x）＞0，x＞1時，f′（x）＞0，
即當k=

1

3

時，能使f（x）在R上單調遞增，∴k≥

1

3

．
（2）∵a²+c²≥b²+ac，由余弦定理：cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

ac

2ac

=

1

2

，∴0＜B≤

π

3

，
（3）∵f（x）在R上單調遞增，且f[m+sin2B+cos(A+C)]＜f(2

m

+

33

4

)，
所以m+sin2B+cos(A+C)＜2

m

+

33

4

-sin2B-cos(A+C)+

33

4

=-sin2B+cosB+

33

4

=cos2B+cosB+

29

4

=(cosB+

1

2

)2+7≥8，
故m-2

m

＜8，即(

m

-1)2＜9，-3＜

m

-1＜3，即0≤

m

＜4，即0≤m＜16．

點評：本題主要考查了余弦定理的應用，利用導函數研究函數的單調性以及函數．考查了基礎知識的綜合理解和應用．