Question

已知函數f（x）=

1+ln(x+1)

x

（x＞0），
（1）函數f（x） 在區間（0，+∞）上是增函數還是減函數？證明你的結論；
（2）證明：當x＞0時，f（x）＞

3

x+1

恒成立；
（3）試證：（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e^2n-3（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）求導函數，確定導數的符號，即可得到結論；
（2）當x＞0時，f（x）＞

3

x+1

恒成立，即證明（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x（x＞0），利用導數求得g（x）的最小值即可；
（3）由（2）知：

1+ln(x+1)

x

＞

3

x+1

（x＞0），從而令x=n（n+1），得ln[1+n（n+1）]＞2-

3

n(n+1)

=2-3（ 

1

n

1

n+1

），對原不等式兩邊取對數，放縮求和即可證得結論

解答：（1）解：由題意知x＞0，則f′（x）=-

[ 1 x+1 +ln(x+1)]

x2

＜0，
故f（x）在區間（0，+∞）上是減函數；
（2）證明：當x＞0時，f（x）＞

3

x+1

恒成立，即證明（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x（x＞0），
則g′（x）=ln（x+1）-1，
當x＜e-1時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；當x＞e-1時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，
所以x=e-1時，g（x）取得最小值，且最小值g（e-1）=3-e＞0，
所以當x＞0時，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0在（0，+∞）上恒成立，
故當x＞0時，f（x）＞

3

x+1

恒成立；
（3）證明：由（2）知：

1+ln(x+1)

x

＞

3

x+1

（x＞0），
∴ln（x+1）＞

3x

x+1

-1=2-

3

x+1

＞2-

3

x

，
令x=n（n+1），則ln[1+n（n+1）]＞2-

3

n(n+1)

=2-3（

1

n

1

n+1

），
又ln[（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1））＞2n-3[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2n-3（1-

1

n+1

）=2n-3+

3

n+1

＞2n-3
所以（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n（n+1）]＞e^2n-3．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查不等式的證明，屬于中檔題．