Question

【題目】若偶函數y=f（x）(滿足f（1+x）=f（1-x），且當時，，則函數g（x）=f（x）-的零點個數為_________個．

Answer 1

【答案】10

【解析】

運用函數的對稱性和奇偶性，確定函數y＝f（x）的周期，構造函數y＝f（x），h（x）＝|lgx|，則函數g（x）＝f（x）﹣|lgx|的零點問題轉化為圖象的交點問題，結合圖象，即可得到結論．

∵偶函數y＝f（x）滿足f（1+x）＝f（1﹣x），

即函數f（x）關于x＝1對稱，即有f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），

則函數y＝f（x）的周期為2，

構造函數y＝f（x），h（x）＝|lgx|，

則函數g（x）＝f（x）﹣|lgx|的零點問題轉化為圖象的交點問題，

畫出函數圖象，如圖，

由于f（x）的最大值1，

所以x＞10時，圖象沒有交點，在（0，1）上有一個交點，（1，3），（3，5），（5，7），（7，9）上各有兩個交點，在（9，10）上有一個交點，故共有10個交點，

即函數零點的個數為10．

故答案為10．