Question

已知函數，且．
（1）求m的值；
（2）判定f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并給予證明．

Answer 1

解：（1）因為，所以，所以m=1．
（2）因為f（x）的定義域為{x|x≠0}，又，
所以f（x）是奇函數．
（3）任取x₁＞x₂＞0，則，
因為x₁＞x₂＞0，所以，所以f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上為單調增函數．
分析：（1）欲求m的值，只須根據f（4）=的值，當x=4時代入f（x）解一個指數方程即可；
（2）求出函數的定義域x|x≠0}，利用奇偶性的定義判斷f（x）與f（-x）的關系，即可得到答案；
（3）利用單調性的定義證明即可．任取0＜x₁＜x₂，只要證明f（x₁）＞f（x₂），即可．
點評：本題主要考查了函數單調性的判斷、函數奇偶性的判斷，與證明及指數方程的解法．在判定函數奇偶性時，一定注意函數的定義域關于原點對稱，屬于基礎題．