Question

【題目】已知函數(shù)（且）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，討論函數(shù)在區(qū)間上的最值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【解析】

（1）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別由求出的范圍，可得增區(qū)間；由求出的范圍， 可得減區(qū)間；（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，分四種情況討論，分別利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出極值，與的值比較大小，進(jìn)而可得結(jié)果.

（1）函數(shù)的定義域是.

.

當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為；

②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為；

③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值為.

最大值為與中的較大者.下面比較與的大小：

因?yàn)?/span> ，

令，得，化簡(jiǎn)得，

解得 .因?yàn)?/span>，且，

所以.

所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上的最大值為；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上的最大值為；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上的最大值為.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最大值為，最小值為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最大值為；最小值為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最大值為，最小值為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最大值為，最小值為.