Question

  若地球半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩點，且這兩點間的球面距離為，則北緯45°圈所在平面與過A、B兩點的球的大圓面所成的二面角的余弦值為 (    )

（A）         （B）      （C）         （D）

 

Answer 1

【答案】

B

【解析】A、B兩點間的球面距離為以O為圓心，且過A，B的圓中弧AB的長度，

設∠AOB=α，則α•R=R，α=，又OA=OB，∴△AOB為正三角形，∴AB=R．

設Q為北緯45°圈的圓心，則由球的截面圓形狀可知，OQ⊥⊙Q面，∠OAQ=45°，

且截面圓半徑長QA=R•cos∠OAQ=R•cos45°= R．在△QAB中，得△QAB為等腰直角三角形．設M為AB中點，連接QM，OM，則OM⊥AB，QM⊥AB，

∴∠OMQ為北緯45°圈所在平面與過A、B兩點的球的大圓面所成的二面角的平面角．

在RT△OMQ中，cos∠OMQ=QM／OM == ,所以所求二面角的余弦值是,故選B．