Question

已知圓O：x²+y²=1，圓C：（x-2）²+（y-4）²=1．在兩圓外一點P（a，b）引兩圓切線PA、PB，切點分別為A、B，滿足|PA|=|PB|．
（1）求實數a，b間的關系式．
（2）求切線長|PA|的最小值．
（3）是否存在以P為圓心的圓，使它與圓O相內切并且與圓C相外切，若存在求出圓P的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接PO，PC，利用|PA|=|PB|．結合半徑，推出實數a，b間的關系式．
（2）利用（1）的結論，通過勾股定理求出切線長|PA|的表達式，利用配方法求出最小值．
（3）設存在以P為圓心的圓，設出半徑，利用|PC|=|PO|+2，結合勾股定理推出

a2+b2

=4-(a+2b)=-1＜0，說明故滿足條件的圓不存在．

解答：解：（1）連接PO，PC，∵|PA|=|PB|，|0A|=|CB|=1，
∴|PO|²=|PC|²從而a²+b²=（a-2）²+（b-4）²，a+2b-5=0．
（2）由（1）得a=-2b+5
∴|PA|=

|PO|2-|OA|2

=

a2+b2-1

=

5b2-20b+24

=

5(b-2)2+4

當b=2時，|PA|_min=2．
（3）若存在，設半徑為R，則有|PO|=R-1，|PC|=R+1，于是|PC|=|PO|+2，
即

(a-2)2+(b-4)2

=

a2+b2

+2
整理得

a2+b2

=4-(a+2b)=-1＜0
故滿足條件的圓不存在．

點評：本題是中檔題，考查直線與圓的位置關系，勾股定理的應用，存在性問題的解法，考查計算能力，推理能力．