Question

（2013•廣元二模）在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中，若2a₂+a_n-5=0，則自然數n的值是（　　）

A．7

B．8

C．9

D．10

Answer 1

分析：由二項展開式的通項公式T_r+1=

C

r n

•（-1）^rx^r可得a_n=（-1）^r•

C

r n

，于是有2（-1）²

C

2 n

+（-1）^n-5

C

5 n

=0，由此可解得自然數n的值．

解答：解：由題意得，該二項展開式的通項公式T_r+1=

C

r n

•（-1）^rx^r，
∴其二項式系數a_n=（-1）^r•

C

r n

，
∵2a₂+a_n-5=0，
∴2（-1）²

C

2 n

+（-1）^n-5

C

5 n

=0，即2

C

2 n

+（-1）^n-5

C

5 n

=0，
∴n-5為奇數，
∴2

C

2 n

=

C

n-5 n

=

C

5 n

，
∴2×

n(n-1)

2

=

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

5!

，
∴（n-2）（n-3）（n-4）=120．
∴n=8．
故答案為：8．

點評：本體考察二項式定理的應用，著重考察二項式系數的概念與應用，由二項展開式的通項公式得到二項式系數a_n=（-1）^r•

C

r n

是關鍵，屬于中檔題．