Question

（本小題滿分12分）已知函數，，

（1）       判斷函數的奇偶性，并證明；

（2）  判斷的單調性,并說明理由。（不需要嚴格的定義證明,只要說出理由即可）

（3）  若，方程是否有根？如果有根，請求出一個長度為1的區間，使；如果沒有，請說明理由。（注：區間的長度＝）

 

Answer 1

【答案】

（1） 為奇函數，證明：見解析；

（2）時，單調遞增；，單調遞減。

（3）方程有根。

【解析】

試題分析：(1)根據f(-x)=-f(x)可知此函數是奇函數。

（1）       分a>1和0<a<1兩種情況研究即可。a>1時，是兩個增函數的和，0<a<1時，是兩個減函數的和。

從而確定其單調性與底數a有關系。

(3) 當，，又,再令,

然后判斷g(-1),g(0)的值，從而判斷y=g(x)在(-1,0)上是否存在零點,從而達到證明f(x)=x+1是否在(-1,0)上有根的目的。

（1）    為奇函數……………………１分

證明：∵的定義域為R，關于原點對稱  …………………2分

又 …………………………………………３分

所以可知為奇函數……………………………………………４分

（2） ∵＝

① 當時，單調遞增，單調遞減，

所以單調遞增…………………………………………………６分

②當時，單調遞減，單調遞增，

所以單調遞減。

綜上可知時，單調遞增；，單調遞減。

………………………………………………８分

（3）當，，又

設…………………………………９分

∵ ………………………………………………１０分

∴ ，故存在零點

即方程有根……………………………………………１２分

考點：函數的單調性，奇偶性，函數的零點與方程的根的關系。

點評：掌握判斷函數奇偶性的方法：一要看定義域是否關于原點對稱，二要看f(-x)與f(x)的關系。

要掌握函數單調性的定義，它是證明抽象函數單調性的依據。函數的零點與方程的根的關系要搞清楚，它是實現根與零點的判斷轉化的依據。