Question

已知定義域為的函數(shù)同時滿足以下三個條件：

[1] 對任意的，總有；

[2] ；

[3] 若，，且，則有成立，

并且稱為“友誼函數(shù)”，請解答下列各題：

(1)若已知為“友誼函數(shù)”，求的值；

(2)函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由.

(3)已知為“友誼函數(shù)”，假定存在，使得且，

求證：.

Answer 1

解析：（1）取得，又由，得         

（2）顯然在上滿足[1] ；[2] .若，，且，則有

 故滿足條件[1]、[2]、[3]，所以為友誼函數(shù).

(3)由 [3]知任給其中，且有，不妨設(shè)

則必有：所以：

所以：.依題意必有,

下面用反證法證明：假設(shè)，則有或

(1)  若，則，這與矛盾；

(2)   若，則，這與矛盾；

     故由上述（1）、（2）證明知假設(shè)不成立，則必有，證畢.