Question

（2011•孝感模擬）如圖，圖形無限向內延續，最外面的正方形的邊長等于1．從外到內，第i個正方形與其內切圓之間的深黑色圖形面積記為S_i（i=1，2，…）．
則（1）S₂=

1

2

-

π

8

；
（2）深黑色圖形的面積的總和S為

2-

π

2

．（以上結果不作近似計算）

Answer 1

分析：所有的正方形構成以1為首項，以

1

2

為公比的等比數列；所有的內切圓構成以

π

4

為首項，以

1

2

為公比的等比數列，故S_i構成以1-

π

4

為首項，以

1

2

為公比的等比數列，從而問題可解．

解答：解：由題意知，所有的正方形構成以1為首項，以

1

2

為公比的等比數列；
所有的內切圓構成以

π

4

為首項，以

1

2

為公比的等比數列，
∴S_i構成以1-

π

4

為首項，以

1

2

為公比的等比數列，
（1）S₂=

1

2

×（1-

π

4

）=

1

2

-

π

8

（2）深黑色圖形的面積的總和為

(1- π 4 )[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

，當n→+∞時，S=2-

π

2

故答案為：

1

2

-

π

8

；2-

π

2

點評：本題以實際問題為載體，考查等比數列模型的確定，解題的關鍵是確定S_i構成以1-

π

4

為首項，以

1

2

為公比的等比數列