Question

已知橢圓上有一個頂點到兩個焦點之間的距離分別為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）如果直線x=t（t∈R）與橢圓相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），證明直線CA與直線BD的交點K必在一條確定的雙曲線上；
（3）過點Q（1，0）作直線l（與x軸不垂直）與橢圓交于M、N兩點，與y軸交于點R，若，，證明：λ+μ為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據橢圓上有一個頂點到兩個焦點之間的距離分別為，，建立方程，結合b²=a²-c²，即可求得橢圓方程；
（2）設出A（t，y），B（t，-y），K（x，y），利用A在橢圓上有，求出CA，DB的方程，相乘，即可得到結論；
（3）設直線l的方程為y=k（x-1），與橢圓方程聯立，利用韋達定理及，，求出λ，μ的值，即可得出結論．
解答：解：（1）由已知得，解得
∴b²=a²-c²=1…（3分）
∴橢圓方程為．…（5分）
（2）依題意可設A（t，y），B（t，-y），K（x，y），且有
又，
∴，
將代入即得
所以直線CA與直線BD的交點K必在雙曲線上．…（10分）
（3）依題意，直線l的斜率存在，故可設直線l的方程為y=k（x-1），…（11分）
設M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），則M、N兩點坐標滿足方程組
消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
所以，①，②…（13分）
因為，所以（x₃，y₃）-（0，y₅）=λ[（1，0）-（x₃，y₃）]，
即，所以x₃=λ（1-x₃），
又l與x軸不垂直，所以x₃≠1，
所以，同理．        …（14分）
所以=．
將①②代入上式可得．      …（16分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查方程與曲線的關系，考查直線與橢圓的位置關系，聯立方程組，利用韋達定理是關鍵．