Question

已知橢圓C的左，右焦點坐標分別為，離心率是．橢圓C的左，右頂點分別記為A，B．點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN長度的最小值；
（3）當線段MN的長度最小時，在橢圓C上的T滿足：△TSA的面積為．試確定點T的個數．

Answer 1

解：（1）因為，且，所以
所以橢圓C的方程為
（2 ） 易知橢圓C的左，右頂點坐標為A（-2，0），B（2，0），直線AS的斜率k顯然存在，且k＞0
故可設直線AS的方程為y=k（x+2），從而
由{，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
設S（x₁，y₁），則，得
從而，即
又B（2，0），故直線BS的方程為
由得，
所以，故
又k＞0，所以
當且僅當時，即k=1時等號成立
所以k=1時，線段MN的長度取最小值…..（9分）
（3）由（2）知，當線段MN的長度取最小值時，k=1
此時AS的方程為x-y+2=0，，
所以，要使△TSA的面積為，
只需點T到直線AS的距離等于，
所以點T在平行于AS且與AS距離等于的直線l′上
設l′：x-y+t=0，則由，解得
1當2時，由
得5x²+12x+5=607
由于△=44＞0，故直線l′與橢圓C有兩個不同交點
②時，由得5x²+20x+21=0由于△=-20＜0，
故直線l′與橢圓C沒有交點
綜上所求點T的個數是2．
分析：（1）因為已知離心率及焦點坐標，故可解出橢圓的a，c及b，即知橢圓的長半軸長與短半軸長，依定義寫出橢圓的方程即可．
（2）引入直線AS的斜率k，用點斜式寫出直線AS的方程，與l的方程聯立求出點M的坐標，以及點S的坐標，又點B的坐標已知，故可解 出直線SB的方程，亦用參數k表示的方程，使其與直線l聯立，求出點N的坐標，故線段MN的長度可以表示成直線AS的斜率k的函數，根據其形式選擇單調性法或者基本不等式法求最值，本題適合用基本不等式求最值．
（3）在上一問的基礎上求出參數k，則直線SB的方程已知，可求出線段AB的長度，若使面積為 ，只須點T到直線BS的距離為 即可，由此問題轉化為研究與直線SB平行且距離為 的直線與橢圓的交點個數問題即得．
點評：本題是解析幾何中直線與圓錐曲線位置關系中很復雜的題目，要求答題者擁有較高的探究轉化能力以及對直線與圓錐曲線位置關系中特征有較好 的理解，且符號運算能力較強才能勝任此類題的解題工作，這是一個能力型的題，好題．