Question

如圖，已知O為△ABC的外心，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且滿足

CO

•

AB

=

BO

•

CA

．
（Ⅰ）證明：2a²=b²+c²； 
（Ⅱ）求

tanA

tanB

+

tanA

tanC

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB、AC的中點(diǎn)E、F，則根據(jù)三角形法則可得：

CO

•

AB

=

1

2

(

CB

+

CA

)•(

CB

-

CA

)=

1

2

(a2-b2)，同理

BO

•

CA

=

1

2

(c2-a2)；進(jìn)而得到答案．
（Ⅱ）由題意可得：

tanA

tanB

+

tanA

tanC

=(

cosB

sinB

+

cosC

sinC

)•

sinA

cosA

，再結(jié)合兩角和與差的正余弦公式、正弦定理、余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求出答案．

解答：解：（Ⅰ）取AB、AC的中點(diǎn)E、F，
則

CO

•

AB

=(

CE

+

EO

)•

AB

=

CE

•

AB

=

1

2

(

CB

+

CA

)•(

CB

-

CA

)=

1

2

(a2-b2)…（3分）
同理

BO

•

CA

=

1

2

(c2-a2)；
所以2a²=b²+c²．…（5分）
（Ⅱ）由題意可得：

tanA

tanB

+

tanA

tanC

=(

cosB

sinB

+

cosC

sinC

)•

sinA

cosA

=

sin(B+C)•sinA

sinB•sinC•cosA

=

a2

bc• b2+c2-a2 2bc

=2…（10分）

點(diǎn)評(píng)：夾角此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的三角形法則，以及解三角形的正弦定理與余弦定理等有關(guān)三角形的常用知識(shí)點(diǎn)．