Question

（2010•江門二模）已知數列{a_n}滿足：a₁=λ，an+1=

2

3

an+n-2，其中λ∈R是常數，n∈N^*．
（1）若λ=-3，求a₂、a₃；
（2）對?λ∈R，求數列{a_n}的前n項和S_n；
（3）若λ+12＞0，討論{S_n}的最小項．

Answer 1

分析：（1）由題意可得a₁=-3，把n=2，n=3分別代入遞推公式可求a₂，a₃
（2）利用待定系數法構造數列b_n=a_n-3n+15為等比數列，可先求數列b_n的前n項和，然后利用分組求和求數列{a_n}的前項和s_n
（3）結合（2）可先求a_n=(

2

3

)n-1[(λ+12)]+(

3

2

)n-1(3n-15)]，觀察可得當n≥5時，a_n＞0，通過計算a1=λ，a2=

2

3

(λ-

3

2

)， a3=

4

9

(λ-

3

2

) ， a4=

8

27

(λ+

15

8

)，從而對①λ＞

3

2

②λ=

3

2

③

-15

8

＜λ＜

3

2

④λ=-

15

8

分別進行判斷數列單調性，從而求和的最小值．

解答：解：（1）a₁=-3，a₂=

2

3

a1+（1-2）=-3，a₃=

2

3

a₂+（2-2）=-2．
（2）設b_n=a_n+αn+β，α、β∈R是常數，代入得bn+1-α(n+1)-β=

2

3

(bn-αn-β)+n-2，
解

-α=- 2 3 α+1 -α-β=- 2 3 β-2

，
得

α=-3 β=15

，即b_n=a_n-3n+15，bn+1=

2

3

bn．
若λ≠-12，則{b_n}是首項為b₁=λ+12≠0、公比為q=

2

3

的等比數列，
所以{b_n}的前n項和Tn=

b1(1-qn)

1-q

=3(λ+12)[1-(

2

3

)n]
數列{3n-15}的前n項和為

(3n-15)+(3-15)

2

×n=

n(3n-27)

2

，所以Sn=3(λ+12)[1-(

2

3

)n]+

n(3n-27)

2

．
若λ=-12，則b_n=0，a_n=3n-15，Sn=

n(3n-27)

2

9．
綜上所述，?λ∈R，Sn=3(λ+12)[1-(

2

3

)n]+

n(3n-27)

2

．
（3）an=(λ+12)(

2

3

)n-1+3n-15=(

2

3

)n-1[(λ+12)+(

3

2

)n-1(3n-15)]，
a₁=λ，a2=

2

3

(λ-

3

2

)，a3=

4

9

(λ-

3

2

)，a4=

8

27

(λ+

15

8

)，
當n≥5時a_n＞0，
所以，當λ＞

3

2

時，?n∈N^*有a_n＞0，{S_n}的最小項是S₁；
當λ=

3

2

時，{S_n}的最小項是S₁、S₂和S₃；
當-

15

8

＜λ＜

3

2

時，{S_n}的最小項是S₃；
當λ=-

15

8

時，{S_n}的最小項是S₃和S₄；當-12＜λ＜-

15

8

時，{S_n}的最小項是S₄．

點評：本題主要考查了利用構造求數列的通項及求和，結合數列的單調性求數列的最值問題，需要考生具備一定的邏輯推理與運算的能力．