Question

已知圓C過點M（5，2）、N（3，2），且圓心在直線y=2x-3上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）求圓C過點P（4，4）的最短弦所在的直線方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由M與N的坐標求出直線MN的方程，求出直線MN垂直平分線的方程，因為MN為圓中的弦，故圓心必然在直線MN的垂直平分線上，所以把直線MN垂直平分線的方程與已知直線聯立組成方程組，求出方程組的解得到圓心坐標，利用兩點間的距離公式求出圓心到M的距離即為圓的半徑，根據圓心與半徑寫出圓的標準方程即可；
（Ⅱ）過P最短的弦所在直線即為與直徑垂直的弦所在的直線，故由圓心C和P的坐標得到直徑所在直線CP的方程，根據兩直線垂直時滿足的關系即可得到所求直線的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵M（5，2）、N（3，2），
∴直線MN的方程為：y=2，又弦MN的中點坐標為（4，2）
∴弦MN的垂直平分線方程為：x=4，
與直線方程y=2x-3聯立解得：y=5，
∴圓心C的坐標為（4，5），
又半徑|CM|=

(5-4)2+(2-5)2

=

10

，
則圓C的方程為：（x-4）²+（y-5）²=10；  （6分）

（Ⅱ）∵直徑所在的直線CP的方程為x=4，
∴圓C過點P（4，4）的最短弦所在的直線方程為：y=4．   （12分）

點評：此題考查了圓的標準方程，涉及的知識有：中點坐標公式，兩直線垂直時滿足的關系，以及垂徑定理，要求學生會根據圓心坐標及半徑寫出圓的標準方程，第二問要求學生掌握過圓內一點，最長的弦為直徑，最短的弦為過該點直徑垂直的弦．