Question

已知a是正整數，拋物線y=ax²+bx+c過點A（-1，4），B（2，1），并且與x軸有兩個不同的交點．
（Ⅰ）求a的最小值；
（Ⅱ）求證：此拋物線的最低點的縱坐標不超過-

17

8

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據拋物線過點A，B，代入即可求a的最小值；
（Ⅱ）根據二次函數的圖象和性質進行證明．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線y=ax²+bx+c過點A（-1，4），B（2，1），
∴

a-b+c=4 4a+2b+c=1

，
解得

b=-a-1 c=3-2a

，
又拋物線與x軸有兩個不同的交點，
則△=b²-4ac=（-a-1）²-4a（3-4a）=9a²-10a+1＞0，
解得a＞1或a＜

1

4

，
∵a是正整數，∴a＞1，
∴a的最小值為2．
（Ⅱ）拋物線的頂點的縱坐標y=

4ac-b2

4a

=

4a(3-2a)-(-a-1)2

4a

=-

1

4

(9a+

1

a

)+

10

4

，
∵當a＞1時，函數y=-

1

4

(9a+

1

a

)+

10

4

單調遞減，
∴當a=2時，ymax=-

17

8

．
即結論成立．

點評：本題主要考查二次函數的圖象和性質，要求熟練掌握二次函數的相關性質和結論．