Question

各項均為正數的數列{a_n}，a₁=，且對滿足m+n=p+q的任意正整數m，n，p，q都有
（I）求通項a_n；
（II）記c_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），設數列{c_n}的前n項和為T_n，求證：對任意正整數n都有T_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（I）解法一：特征根法，構造得出，利用{}為等比數列求解
解法二：由1+n=2+（n-1），得出，繼而轉化為=，利用數列{}為等比數列求解
（II）=，經放縮后，利用等比數列求和公式化簡后可證明．
解答：解：（I）解法一：特征根法，令得α=1
∴
∴
再利用構造新數列求通項公式
設
∴∴
∴又   
∴
∴
∴
解法二：由
得
將a₁=，代入化簡得
a_n=
所以=
故數列{}為等比數列，從而=，a_n=

（II）∵
∴
=
∴
點評：本題考查數列的遞推公式與通項公式，轉化構造的思想方法以及放縮法證明不等式．綜合性較強．