Question

已知橢圓的左右兩焦點分別為F₁，F₂，P是橢圓C上的一點，且在x軸的上方，H是PF₁上一點，若，（其中O為坐標原點）．
（Ⅰ）求橢圓C離心率e的最大值；
（Ⅱ）如果離心率e取（Ⅰ）中求得的最大值，已知b²=2，點M（-1，0），設Q是橢圓C上的一點，過Q、M兩點的直線l交y軸于點N，若，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意，△F₁OH與△F₁PF₂相似，所以，|PF₂|=，|PF₁|=2a-，從而可求λ=，于是有，而λ∈[]，可求橢圓C離心率e的最大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道橢圓C離心率e的最大值是，橢圓C的方程為，直線l的其方程為y=k（x+1），N（0，k）設Q（x₁，y₁），由可得（x₁，y₁-k）=2（-1-x₁，-y₁），求得x₁，y₁，代入橢圓方程可求得k．
解答：解：（Ⅰ）由題意知PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁
則有△F₁OH與△F₁PF₂相似，所以…（2分）
設F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，P（c，y₁），則有，解得，
所以根據橢圓的定義得：…（4分）
∴，即，所以…（6分）
顯然在上是單調減函數，當時，e²取最大值．
所以橢圓C離心率e的最大值是…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，解得a²=4，
∴橢圓C的方程為…（10分）
由題意知直線l的斜率存在，故設其斜率為k，則其方程為y=k（x+1），N（0，k）
設Q（x₁，y₁），由于，所以有（x₁，y₁-k）=2（-1-x₁，-y₁）
∴…（12分）
又Q是橢圓C上的一點，則，解得k=±4，
所以直線l的方程為4x-y+4=0或4x+y+4=0…（14分）
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查橢圓的性質，難點在于（Ⅰ）中離心率e與λ關系的分析整理，突出轉化思想與方程思想的運用，綜合性強，屬于難題．