Question

已知橢圓的左右兩焦點為F₁，F₂，P是橢圓上一點，且在x軸上方，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，OH=λOF₁，λ∈[，]。
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）當e取最大值時，過F₁，F₂，P的圓Q的截y軸的線段長為6，求圓Q的方程；
（3）在（2）的條件下，過橢圓右準線L上任一點A引圓Q的兩條切線，切點分別為M，N，試探究直線MN是否過定點？若過定點，請求出該定點；否則，請說明理由。

Answer 1

解：由相似三角形知，，，
∴。
(1)，
∴，在上單調遞減，
∴時，最小，時，最小，
∴，∴。
(2)當時，，∴，∴，
∵，
∴是圓的直徑，圓心是的中點，
∴在y軸上截得的弦長就是直徑，∴=6，
又，
∴，
∴，圓心Q（0，1），半徑為3，。
(3)橢圓方程是，右準線方程為，
∵直線AM，AN是圓Q的兩條切線，
∴切點M，N在以AQ為直徑的圓上。
設A點坐標為，
∴該圓方程為，
∴直線MN是兩圓的公共弦，兩圓方程相減，得，
這就是直線MN的方程，
該直線化為：，
∴，∴直線MN必過定點。