Question

科學(xué)植樹的一個(gè)重要因素就是要考慮陽光對(duì)樹生長(zhǎng)的作用．現(xiàn)在準(zhǔn)備在一個(gè)朝正南方向傾角為α的斜坡上種樹，假設(shè)樹高為h m，當(dāng)太陽在北偏東β而仰角為γ時(shí)，該樹在坡面上的影長(zhǎng)為多少米？

Answer 1

分析：如下圖，DE是高度為h的樹，斜坡AD朝正南方向，AB為東西方向，BC為南北方向．∠CBD=α，∠ACB=β，∠EAC=γ，∠AED=90°-γ，影長(zhǎng)AD=x為未知量．但x難以直接與上述諸已知量發(fā)生聯(lián)系，故設(shè)∠DAC=θ為輔助未知量，以揭示x與諸已知量之間的數(shù)量關(guān)系，作為溝通橋梁．

解答：解：在△ADE中，

h

sin(γ-θ)

=

x

sin(90°-γ)

，
即

x

cosγ

=

h

sin(γ-θ)

．①
在△ACD中，CD=xsinθ，AC=xcosθ．
在△ABC中，BC=ACcosβ=xcosθcosβ．
在△BCD中，tanα=

CD

BC

=

xsinθ

xcosθcosβ

=

sinθ

cosθcosβ

．②
由①推得x=

h

sin(γ-θ)

cosγ③
由②推得tanθ=tanαcosβ，
即θ=arctan（tanαcosβ）．
代入③，即得樹在坡面上的影長(zhǎng)x=

hcosγ

sin[γ-arctan(tanαcosβ)]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理和反三角函數(shù)的應(yīng)用．三角函數(shù)在解決實(shí)際問題時(shí)有著重要的作用，從這個(gè)題也可以看出數(shù)學(xué)在生活中的用途．