Question

設函數f（x）=x（e^x-1）-ax²，a∈R，其中e為自然對數的底數．
（Ⅰ）若a=

1

2

，求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）若當x≥0時，f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數的運算法則得到f′（x），再求出f′（x）＞0即可；
（2）由于f（x）=x（e^x-1-ax），令g（x）=e^x-1-ax，得到g′（x），通過對a分類討論，利用導數與函數單調性的關系即可得出．

解答：解：（1）a=

1

2

時，f(x)=x(ex-1)-

1

2

x2，
f′（x）=e^x-1+xe^x-x=（e^x-1）（（x+1）．
令f'（x）＞0，得x＜-1或x＞0，
所以f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1），（0，+∞）．
（2）f（x）=x（e^x-1-ax）
令g（x）=e^x-1-ax，則g′（x）=e^x-a．
若a≤1，則當（0，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數，
而g（x）=0，從而當x≥0時，g（x）≥0，即f（x）≥0．
若a＞1，則當x∈（0，lna）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數，
而g（x）=0，從而當x∈（0，lna）時，g（x）＜0，即f（x）＜0．
所以不合題意，舍去．
綜合得a的取值范圍為（-∞，1]．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性的方法、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．