Question

（2009•虹口區二模）已知函數f （x）=

|x|

x+2

（1）判斷f （x）在區間（0，+∞）上的單調性，并證明；
（2）若關于x的方程f （x）=k有根在[2，3]內，求實數k的取值范圍；
（3）若關于x的方程f （x）=k x²有四個不同的實數根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當x＞0時，f （x）=

|x|

x+2

=

x

x+2

=1-

2

x+2

，利用單調性的定義設0＜x₁＜x₂，判定f（x₁）與f（x₂）的大小即可
（2）當x∈[2，3]時，f（x）=

x

x+2

=1-

2

2+x

結合x∈[2，3]可求f（x）的范圍，若f（x）=k在[2，3]上有解，則f（x）的范圍即是k的范圍
（3）f（x）=kx²有四個根，即

|x|

x+2

=kx2（*）有四個根，當x=0時，是方程（*）的1個根，則只要

|x|

x+2

=kx2有3個不為0的根，而

1

k

=

x(x+2)，x＞0 -x(x+2)，x＜0

結合函數g（x）=

x(x+2)，x＞0 -x(x+2)，x＜0

的圖象可求

解答：解：（1）當x＞0時，f （x）=

|x|

x+2

=

x

x+2

=1-

2

x+2

設0＜x₁＜x₂
∴f(x1)-f(x2)=1-

2

2+x1

-1+

2

2+x2

=

2

2+x2

-

2

2+x1

=

2(x1-x2)

(2+x1)(2+x2)

∵0＜x₁＜x₂
∴2（x₁-x₂）＜0，（2+x₁）（2+x₂）＞0
∴

2(x1-x2)

(2+x1)(2+x2)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）在（0，+∞）單調遞增
（2）當x∈[2，3]時，f（x）=

x

x+2

=1-

2

2+x

∴4≤2+x≤5，

2

5

≤

2

2+x

≤

1

2

∴

1

2

≤1-

2

2+x

≤

3

5

∵f（x）=k在[2，3]上有解，則

1

2

≤k≤

3

5

（3）f（x）=kx²有四個根，即

|x|

x+2

=kx2（*）有四個根
當x=0時，是方程（*）的1個根
則

|x|

x+2

=kx2有3個不為0的根
而

1

k

=

x(x+2)，x＞0 -x(x+2)，x＜0

結合函數g（x）=

x(x+2)，x＞0 -x(x+2)，x＜0

的圖象可知滿足條件時有0＜

1

k

＜1
∴k＞1

點評：本題主要考查了函數的單調性的判斷，函數值域的求解，方程的根與函數交點的相互轉化，體現了分類討論、轉化思想與數形結合思想在解題中的應用