Question

設f（n）=nⁿ⁺¹，g（n）=（n+1）ⁿ，n∈N^*．
（1）當n=1，2，3，4時，比較f（n）與g（n）的大小．
（2）根據（1）的結果猜測一個一般性結論，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識點是歸納推理與數學歸納法，我們可以列出nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ（n∈N^*）的前若干項，然后分別比較其大小，然后由歸納推理猜想出一個一般性的結論，然后利用數學歸納法進行證明．
解答：解：（1）當n=1時，nⁿ⁺¹=1，（n+1）ⁿ=2，此時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當n=2時，nⁿ⁺¹=8，（n+1）ⁿ=9，此時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當n=3時，nⁿ⁺¹=81，（n+1）ⁿ=64，此時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，
當n=4時，nⁿ⁺¹=1024，（n+1）ⁿ=625，此時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，
（2）根據上述結論，我們猜想：當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n∈N^*）恒成立．
①當n=3時，nⁿ⁺¹=3⁴=81＞（n+1）ⁿ=4³=64
即nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ成立．
②假設當n=k時，k^k+1＞（k+1）^k成立，即：＞1
則當n=k+1時，=＞=＞1
即（k+1）^k+2＞（k+2）^k+1成立，即當n=k+1時也成立，
∴當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n∈N^*）恒成立．
點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．